面积计算基本原理
定积分可以用来计算曲线下的面积。面积函数 \(A(x)\) 的导数等于曲线的高度。
\(\frac{dA}{dx} = y\)
因此：\(\text{Area} = \int_a^b y dx\)
面积公式
正曲线、x轴和直线 \(x = a\)、\(x = b\) 之间的面积：
\(\text{Area} = \int_a^b f(x) dx\)
Example 3 - 有限区域面积
题目：Find the area between \(y = 20 - x - x^2\) and the x-axis.
解：
因式分解：\(y = (4 - x)(5 + x)\)
交点：\(x = 4\) 和 \(x = -5\)
\(\text{Area} = \int_{-5}^4 (20 - x - x^2) dx\)
\(= \left[20x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-5}^4 = \frac{243}{2}\)
计算步骤
第一步：确定积分区间 \([a, b]\)
第二步：写出面积积分表达式
第三步：计算定积分
第四步：给出最终答案
重要注意事项
• 只有曲线在x轴上方时，积分才表示面积
• 曲线在x轴下方时，面积为负值，需取绝对值
• 先画图分析，确定积分区间
• 因式分解有助于找交点
练习题精选
1. \(\int_1^3 (-3x^2 + 17x - 10) dx = \frac{20}{3}\)
2. \(\int_0^2 x(x^2 - 4) dx = | -4 | = 4\)
3. \(\int_1^3 (3x + \frac{6}{x^2} - 5) dx = 6\)
解题技巧
画图分析：先画出函数图形，确定积分区间
因式分解：将函数因式分解，便于找交点
分段积分：如果曲线穿过x轴，需要分段计算
验证答案：检查积分区间和计算过程